Octaedru

Octaedru
Fișier:Octahedron.jpg
(animație)
Descriere
Tip	poliedru platonic
Fețe	8
Laturi (muchii)	12
Vârfuri	6
χ	2
Configurația vârfului	3.3.3.3
Configurația feței	V4.4.4
Simbol Wythoff	4 | 2 3
Simbol Schläfli	{3,4} r{3,3} sau $\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$
Simbol Conway	O aT
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Oh, BC3, [4,3], (*432)
Grup de rotație	O, [4,3]+, (432)
Unghi diedru	109.47122° = arccos(−1⁄3)
Poliedru dual	Cub
Proprietăți	regulat, convex
Figura vârfului
Fișier:Octahedron vertfig.svg
Desfășurată
Fișier:Octahedron flat.svg

În geometrie, un octaedru (plural, octaedre) este un poliedru cu opt fețe.

Octaedrul regulat

Descriere

Un octaedru regulat este un poliedru platonic compus din opt triunghiuri echilaterale congruente (care se întâlnesc câte patru în vârfuri) și șase vârfuri. Octaedrul regulat mai poate fi descris ca fiind un corp în spațiu alcătuit din două piramide tetragonale regulate egale, unite la bazele lor.

Dimensiuni

Dacă se notează cu a lungimea muchiei octaedrului regulat, atunci raza sferei circumscrise (care trece prin toate cele șase vârfuri ale sale) este,

$r_u=\frac{a}{2}\sqrt{2}\approx 0.707\cdot a$

iar raza sferei înscrise (tangentă interioară la fiecare din fețele octaedrului) este dată de relația,

$r_i=\frac{a}{6}\sqrt{6}\approx 0.408\cdot a$

în timp ce raza medie, ce intersectează fiecare din cele opt muchii la mijlocul acestora, este

$r_m=\frac{a}{2}=0.5\cdot a$

Proiecții ortogonale

Cele patru proiecții ortogonale "speciale" ale octaedrului sunt centrate pe muchie, pe vârf, pe față și, respectiv, perpendiculară.

Proiecții ortogonale

Centrat pe	Muchie	Față	Vârfuri	Față
Imagine	Fișier:Cube t2 e.svg	Fișier:Cube t2 fb.svg	Fișier:3-cube t2 B2.svg	Fișier:3-cube t2.svg
Simetrie proiectivă	[2]	[2]	[4]	[6]

Pavare sferică

Octaedrul poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe un plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este o conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Fișier:Uniform tiling 432-t2.svg	Fișier:Octahedron stereographic projection.svg
Proiecție ortogonală	Proiecție stereografică

Generalizare în spațiul n-dimensional

Octaedrul are ca echivalent în spațiul n-dimensional hiperoctaedrul.

Vezi și

• Compus de patru octaedre
• Compus de patru octaedre cu libertate de rotație
• Compus de cinci octaedre
• Compus de opt octaedre cu libertate de rotație
• Compus de zece octaedre
• Compus de douăzeci de octaedre
• Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație

Legături externe

• Materiale media legate de Octaedru la Wikimedia Commons
• Paper model of the octahedron
• K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other S semi-Regular Polyhedra
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
  • Conway Notation for Polyhedra Try: dP4

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: oct